MATHEMATIQUES

Art et Sciences Mathématiques[by : sliman mohamedbahjet ] Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations... Les mathématiques et l'art entretiennent une longue relation historique. Le nombre d'or étant connu des Égyptiens et des Grecs, utilisé dans la construction de monuments, dont les pyramides, le Parthénon et le Colisée.

lundi 15 juin 2015

MATHEMATIQUES: Etude maths (A Pr: Mohamedbahjet Sliman )Cours p...

MATHEMATIQUES:
Etude maths (A Pr: Mohamedbahjet Sliman )Cours p...: Etude maths (A P r: Mohamedbahjet Sliman ) Cours particulier en MATH Profil du prof : Ancien étudiant à l

jeudi 20 novembre 2014

Etude maths

(A Pr: Mohamedbahjet Sliman )

Cours particulier en MATH

Profil du prof:

Ancien étudiant à l' IPEST ... expérience plus que 15 ans dans le domaine.

Etude Spirit Maths

1. On donne :

 des séances de rattrapage.

 Résumé de cour

 Séries des exercices.

 Méthodes de résolution simple et efficace.

2. Pour tous les niveaux et toutes les sections :

7em _ 8em _ 9em
1er _ 2em (tous les sections) _ 3em (tous les sections) _ 4em [BAC](tous sections)( En particulier : les élèves de BAC révision de tout le programme pour le concours )
Prépa : 1er _ 2em (tous les sections)
fac : 1er 2 em 3em 4em (tous les sections)

3. Pour plus d'ample information veuillez contacter :

21123699

mardi 2 septembre 2014

MATHEMATIQUES

samedi 24 mai 2014

Coniques

Mr : Sliman Mohamed Bahjet

Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution. Dans la suite toutefois, on omettra le plus souvent de la définition des coniques, les cas où le cône est lui-même dégénéré

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blog: http://bahjetsliman.blogspot.com/

Ce qui survient si : l'angle d'ouverture du cône est maximal (angle au sommet égal à 180 °), auquel cas le cône se réduit à un seul plan, dont l'intersection avec un autre plan peut être soit vide, soit le même plan, soit le plus souvent une droite ; l'angle d'ouverture du cône est minimal (angle au sommet égal à 0 °), auquel cas le cône se réduit à une seule droite, dont l'intersection avec un autre plan peut être soit vide, soit la même droite, soit le plus souvent un simple point. Selon les positions relatives du plan de coupe et du cône (non dégénéré selon la définition ci-dessus), on obtient différents types de coniques : Intersection d'un plan et d'un cône de révolution Les coniques propres, quand le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône : si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, l'intersection est une hyperbole ; dans le cas particulier où l'angle d'inclinaison est inférieur d'exactement 45° à l'angle d'ouverture du cône, cet hyperbole est même équilatère (ce cas particulier n'existe pas si l'angle d'ouverture du cône n’est pas lui-même d’au minimum 45°, c'est-à-dire si le cône est aigu ; si l’angle d’ouverture du cône est exactement 45°, le plan de coupe doit être parallèle à l'axe du cône pour que l'intersection soit une hyperbole équilatère) ; si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une parabole ; si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse (cette ellipse est une des courbes directrices du cône) ; dans le cas maximal où l'angle d'inclinaison du plan de coupe est droit, cette ellipse est même un cercle (lui aussi une des courbes directrices du cône). Les coniques dégénérées (en), quand le plan contient le sommet du cône.

Là encore, on distingue trois sortes de coniques dégénérées en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône : si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un couple de droites sécantes (deux génératrices du cône, passant toutes deux par le sommet du cône). si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à une seule droite (une des génératrices du cône passant par le sommet du cône, et où le plan de coupe et le cône sont tangents) ; si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un seul point (le sommet du cône).

Les célèbres coniques (ellipse, parabole, hyperbole) étudiées par les mathématiciens grecs de l'antiquité (Apollonis de Perge, Menechme, Pappus) peuvent être définies au moyen d'un point appelé foyer (Kepler) et d'une droite (d) dite directrice (Pappus).Ainsi, une conique est l'ensemble des points M tels que MF/MH = e où H désigne la projection orthogonale de M sur (d) et e un nombre strictement positif donné. Ce nombre e est appelé excentricité de la conique.La droite perpendiculaire à (d) passant par F est l'axe focal : il s'agit ici de la droite (KF), K désignant la projection orthogonale de F sur (d).Cette définition permet d'affirmer que (FK) est un axe de symétrie de la conique. Le point S de (FK) vérifiant SF/SK = e est dit sommet de la conique. Lorsque e est distinct de 1, il existe deux points S et S' divisant [KF] dans le rapport e : c'est dire que la conique admet un second sommet S'.Lorsque e est distinct de 1, un calcul analytique (voir ci-dessous) permet d'observer une symétrie et, par suite, l'existence d'un second foyer F' et d'une seconde directrice : l'ellipse (e < 1) et l'hyperbole (e > 1) sont des coniques bifocales, dites aussi coniques à centre. Le centre est le milieu de [FF'].

La définition actuelle d’une conique est d’être une courbe algébrique du deuxième degré.
Cette définition englobe les cas de dégénérescence (dans le plan euclidien : ensemble vide, point, réunion de deux droites) et permet d’affirmer que les coniques sont les sections planes de quadriques.
Cependant, dans ce site, le mot conique désigne uniquement les cas non dégénérés, ou "propres" : ellipse, parabole, hyperbole.
Avec cette acception, voici diverses définitions géométriques des coniques :
1) Définition des Grecs.
Les coniques sont les sections d’un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet.
Ellipse
Parabole
Hyperbole
2) Définition par foyer et directrice.
Les coniques sont des cercles, ou les lieux des points dont le rapport des distances à un point fixe (le foyer F) et à une droite fixe (la directrice (D)) est constant (égal à l’excentricité e) ; les ellipses sont obtenues pour e < 1, la parabole pour e = 1, les hyperboles pour e > 1.
Ce n'est qu'en 1822 que Dandelin a relié entre elles ces deux premières définitions, en montrant que les foyers et les directrices sont obtenus à l'aide des deux sphères inscrites :
3) Définition par courbe d'équidistance entre un point et un cercle généralisé.
Les coniques sont les lieux des points équidistants d’un point fixe (le foyer) et d’un cercle ou d'une droite (C) (le cercle directeur ou la directrice), c'est à dire les isotèles de cercle généralisé ; autrement dit, ce sont les lieux du centre d’un cercle variable astreint à passer par un point fixe et à être tangent à (C).
Lorsque le foyer est intérieur au cercle, on obtient les ellipses, extérieur les hyperboles, et lorsque (C) est une droite : la parabole.
Plus généralement, les lieux des centres de cercles tangents à deux cercles généralisés de rayons distincts sont des réunions de deux coniques.
4) Définition par orthocaustique de cercle ou droite.
Les coniques sont les orthocaustiques (ou antipodaires) d’un cercle ou d'une droite (C') (le cercle principal ou la tangente au sommet).
Lorsque la source lumineuse, qui est aussi le foyer de la conique, est intérieure au cercle, on obtient les ellipses, extérieure, les hyperboles, et lorsque (C') est une droite : la parabole.
Les coniques sont donc aussi les enveloppes de la médiatrice d'un segment joignant un point à un cercle ou une droite (le cercle directeur ou la directrice) (autrement dit, ce sont les courbes dont l’orthotomique est un cercle ou une droite).
5) les coniques sont les anticaustiques de droite.
La première définition a plusieurs implications dans la vie courante : par exemple le bord de la trace lumineuse que fait une lampe à abat-jour ou une lampe de poche sur un mur est une conique

La définition par foyer et directrice permet de retrouver les relations fondamentales de la définition bifocale

MF + MF' = 2a

(ellipse)

et

| MF' - MF | = 2a (hyperbole).

En effet, dans le cas de l'ellipse, on a : MF = eMH et MF' = eMH',

donc MF + MF' = e(MH + MH') = e 2a²/c. Or e = c/a, d'où le résultat. Le cas de l'hyperbole s'obtient de la même manière en remarquant que les directrices coupent l'axe focal entre S et S' (puisque e = c/a > 1).

Ellipse

L'ensemble de tels points fut étudié géométriquement (indépendamment de l'aspect analytique décrit ci-dessus) par La Hire au 17è siècle.Résumé des principales caractéristiques de l'ellipse et de l'hyperbole (équations réduites) :

Ellipse

x²/a² + y²/b² = 1

Abscisses foyer :

c²= a² - b² (a > b) , c² = b² - a² (a < b)

Excentricité : e = c/a
Directrices : x = ± a²/c (a > b) , x = ± b²/c (a < b)
Tangentes en M(xo,yo) : xxo/a² + yyo/b² = 1

Hyperbole

x²/a² - y²/b² = ±1 = ε

Abscisses foyer : c² = a² + b² Excentricité : e = c/a (ε =1) , e = c/b (ε =-1) Directrices : x = ± a²/c (ε =1) , y = ± b²/c (ε= -1)
Asymptotes : ay = ± bx
Tangentes en M(xo,yo) : xxo/a² - yyo/b² = ±1

Parabole

HYPERBOLE

vendredi 23 mai 2014

Variables aléatoires

Mr Sliman Mohamedbahjet :

http://bahjetsliman.blogspot.com/

• Variables aléatoires sur un ensemble fini:

Soit (Ω, P (Ω) , P) un espace probabilisé fini. Une variable aléatoire
est une application de Ω dans R
• Pour tout x ∈ IR, l’événement
X¹ (x) = {ω; ω∈ Ω, X (ω) = x}
• Déterminer la loi de probabilité de X, c’est déterminer X (Ω),
et, pour chaque xi ∈ X (Ω), déterminer la probabilité P (X = xi).
• Réciproquement, soit {(xi, pi) ; i ∈ I} un ensemble fini de couples
de nombres réels. Pour vérifier que cet ensemble est la loi de probabilité
d’une v.a finie X, avec P(X = xi) = pi, il suffit de vérifier :

− ∀i ∈ I, 1 > pi ≥ 0 ;

− pour i∈I ; somme des ∑ pi = 1.

• Propriétés:

• Si les v.a X1, · · · , Xn sont indépendantes, alors elles sont indépendantes deux à deux. La réciproque est fausse.
• Si X1, · · · , Xn sont indépendantes, alors toute fonction de X1, · · · , Xp
est indépendante de toute fonction de Xp+1, · · · , Xn, 1 p < n. En
particulier, si X, Y sont indépendantes,alors toute fonction de X est
indépendante de toute fonction de Y.

• Espérance, ou moyenne:

• Définition:

Soit X une v.a définie sur V fini. L’espérance, ou moyenne, de X est le nombre réel noté E (X) et défini par:

E (X) = ∑ xi P (X = xi) ; xi∈X(Ω)

Cette définition est à rapprocher de la définition de la moyenne
d’une série statistique : la fréquence de la valeur observée xi de la
variable statistique X est remplacée par la probabilité de la valeur xi pour la v.a X.
Linéarité de l’espérance:
Soit X et Y deux v.a définies sur V fini et a, b deux nombres réels.
Alors:

E (X + Y) = E (X) + E(Y)

E (aX + b) = aE (X) + b

Théorème de transfert:

Soit X une v.a définie sur V fini, et w une application définie sur

X (V). Alors :

E (ф (X)) = ∑ ф (xi) P (X = xi) ;xi∈X(Ω)

• Variance, écart-type:Définitions:

• soit X une v.a définie sur V fini. La variance de X est le nombre réel noté V(X) et défini par :

V(X) = ∑ [xi − E (X)]²P (X = xi) ; xi∈X(Ω)

• D’après le théorème de transfert, on a

V(X) = E[X − E (X)]²

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

• L’écart-type σ (X) est la racine carrée de la variance :

σ (X) = √(V(X))

Exo1:

On lance 4 dés, et on note S la somme des résultats obtenus. Calculer E(S).

Sol:

Soient X1, X2, X3 et X4 les résultats obtenus pour chaque dé.

On a :

E(X1) = E(X2) = E(X3) =E(X4)

E(X1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5

Or, S = X1 + X2 + X3 + X4,

d'où :

E(S) = E(X1 + X2 + X3 + X4) = 4E(X1) = 4 * 3,5 = 14

Exo2:

On lance deux fois de suite un dé équilibré. Modéliser cette expérience. Soit X la variable aléatoire égale au plus grand des numéros tirés. Quelle est la loi de probabilité de X. Calculer son espérance mathématique et sa variance.

Sol:

Modélisation:
L'ensemble des résultats élémentaires pour le jet d'un dé est {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
L'ensemble des résultats élémentaires pour deux jets d'un dé est W = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ².
Son cardinal est Card (W) = 6 ² = 36.
Comme le dé est équilibré, chaque résultat élémentaire d'un jet du dé est équiprobable et a une probabilité .
Comme les jets sont supposés indépendants, les probabilités se multiplient ; chaque élément de W est équiprobable et a une probabilité .

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mercredi 27 février 2013

The Fourier transform

The Fourier transform takes an input function f (in red) in the “time domain” and converts it into a new function f-hat (in blue) in the “frequency domain”.In other words, the original function can be thought of as being “amplitude given time”, and the Fourier transform of the function is “amplitude given frequency”.Shown here, a simple 6-component approximation of the square wave is decomposed (exactly, for simplicity) into 6 sine waves. These component frequencies show as very sharp peaks in the frequency domain of the function, shown as the blue graph. In practice, these peaks are never that sharp. That would require infinite precision.I’m not too happy with this one yet. I might add a few frames to smooth a few steps out.

mercredi 20 février 2013

Arithmetical

Design

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Arithmetical Design

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INFINI !..

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samedi 16 février 2013

Familles numériques sommables

Dans tout ce chapitre : $K=\mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$

I. Ensembles dénombrables

Définition :

Un ensemble $D$ est dit dénombrable ssi il est équipotent à $\mathbb{N}$ .
Il est dit au plus dénombrable ssi il est équipotent à une partie de $\mathbb{N}$ .

Rappels :

Deux ensembles $E$ et $F$ sont dits équipotents s'il existe une bijection $f : E \longrightarrow F$ .

Si $\mathfrak{E}$ est un ensemble d'ensembles, alors la relation d'équipotence sur $\mathfrak{E}$ est une relation d'équivalence.

Exemples :
1) Soit $\mathfrak{P}$ (resp. $\mathfrak{J}$ ) l'ensemble des entiers naturels pairs (resp. impairs).
Les applications $\begin{array}{rcl} f: & \mathbb{N} & \longrightarrow& \mathfrak{P}&\\ & n & \longrightarrow & 2n \end{array}$ et $\begin{array}{rcl}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow& \mathfrak{J}&\\ & n & \longrightarrow & 2n+1 \end{array}$ sont des bijections.
Donc $\mathfrak{P}$ et $\mathfrak{J}$ sont dénombrables.
2) Tout ensemble fini est au plus dénombrable car il est équipotent à une partie de $\mathbb{N}$ de la forme $\ldbrack1,n\rdbrack \: \left(n \in \mathbb{N}\right).$

Remarque :
Si $D$ est un ensemble dénombrable (resp. au plus dénombrable) alors tout ensemble $\Delta$ équipotent à $D$ est dénombrable (resp. au plus dénombrable).

Théorème :

Soit $P$ une partie infinie de $\mathbb{N}$ . Alors :

$P$ est dénombrable.

Soit $\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow P$ tel que : $\lbrace {\sigma(0)=\min P\atop \forall n>0 , \sigma(n)=\min(P\backslash \lbrace \sigma(0),\cdots , \sigma(n-1) \rbrace ) }$
Alors $\sigma$ est l'unique bijection strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $P$ .

Corollaire :

Soit $D$ un ensemble.
Alors $D$ est au plus dénombrable ssi $D$ est fini ou dénombrable.

Proposition :

Soit $D$ un ensemble.

S'il existe une application injective $f:D\longrightarrow \mathbb{N}$ , alors $D$ est au plus dénombrable.

S'il existe une application surjective $g: \mathbb{N} \longrightarrow D$ , alors $D$ est au plus dénombrable.

Exemple :
Soit $\begin{array}{rcl}f: & \mathbb{N}^2 & \longrightarrow& \mathbb{N}&\\ & (n,m) & \longrightarrow & 2^n\times3^m \end{array}$
f est injective par unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
$\mathbb{N}^2$ est au plus dénombrable, et comme il est infini, il est dénombrable.

Théorème :

Toute réunion d'une suite d'ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.
Toute réunion d'une suite d'ensembles au plus dénombrables est un ensemble au plus dénombrable.

Théorème :

Soit $D$ un ensemble. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

$D$ est au plus dénombrable.

Il existe une suite $(D_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de parties finies de $D$ tq : $\lbrace {(\forall n\in\mathbb{N}) \: : \: D_n \subset D_{n+1}\atop \bigcup_{n\in\mathbb{N}} D_n = D}$

Exemple :
$D = \mathbb{Z}$
$D_n = \ldbrack-n,n\rdbrack$ (avec : $n \in \mathbb{N}^*$ )
On a :

$\mathbb{Z} = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} D_n$

$D_n \subset\mathbb{Z}$ , $D_n$ fini.

$D_n \subset D_{n+1}$
$\mathbb{Z}$ est au plus dénombrable et puisque $\mathbb{Z}$ est infini, $\mathbb{Z}$ est dénombrable.

II. Familles sommables de réels positifs

$I$ est un ensemble au plus dénombrable.

Définition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs indexée par $I$ .
On dit que $(a_i)_{i\in I}$ est sommable ssi $\rm \lbrace \displaystyle\sum_{i\in J}a_i / J\subset I, J fini\rbrace$ est majoré dans $\mathbb{R}$ .
Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble est appelée la somme de la famille $(a_i)_{i\in I}$ et notée $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i$ .

Notation :
$\mathfrak{F}(I)$ désigne l'ensemble de toutes les parties finies de $I$ .
Ainsi : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \sup_{J\in \mathfrak{F}(I)} \left(\displaystyle \sum_{i\in J} a_i\right)$ si la famille est sommable.

Exemples :
Exemple 1 : Soit $I = \mathbb{N}^*^2 \, , \, (i,j)\in I \, , \, a_{ij}=\frac{1}{i^2\times j^2}$
Soit $J\in\mathfrak{F}(I)$ ; il existe $N\in\mathbb{N}^*$ tq : $J \subset \ldbrack1,N\rdbrack^2$
En effet, soit $(i,j) \in J$ , $k = (i,j)\in\mathbb{N}^{*}^2 = \bigcup_{n\in\mathbb{N}^*} \ldbrack1,n\rdbrack^2$ .
$\exists n_k \in \mathbb{N}$ tq $k \in \ldbrack1,n_k\rdbrack^2$
Soit $N = \max_{k\in J}( n_k)$ , $N$ existe car $J$ est fini.
On a $k = (i,j)\in J$ .
On a : $\lbrace {1 \leq i \leq n_k \leq N\atop 1\leq j \leq n_k \leq N}$ d'où : $k=(i,j) \in \mathbb{[\mathbb{1},N|]^2$
On conclut : $J\subset \ldbrack1,N\rdbrack^2$ (ce qui fallait démontrer)

Soit maintenant $N$ un tel entier :
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in \ldbrack1,N\rdbrack^2} \frac{1}{i^2 \times j^2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{i^2\times j^2}\right) = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right) \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2$ , de plus, on sait que $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}$ converge.
Posons : $S$ sa somme. $\forall J\in \mathfrak{F}(I)$ , $\displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2$ .
Donc : $(a_{ij})_{(i,j)\in I}$ est sommable et $\displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2$ .
Montrons que : $S^2 = \displaystyle \sum_{(i,j)\in I} a_{ij} = \sup_{J\in \mathfrak{F}(I)} \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}$ .
$S^2$ est déjà un majorant de l'ensemble : $A=\lbrace \displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij} \, / \, J\in\mathfrak{F}(I)\rbrace$ .
Soit $\epsilon > 0 \, ; \, \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2 \longrightarrow_{n\to+\infty}S^2$ , et comme $\left(\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2\right)_n$ est croissante.
Alors : $S^2 = \sup \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2$
Posons donc : $N \in \mathbb{N}^*$ tq : $S^2 - \epsilon < \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2$ , d'où $S^2 - \epsilon < \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{i^2\times j^2}$
C'est-à-dire : $S^2 - \epsilon < \displaystyle \sum_{(i,j) \in \ldbrack1,N\rdbrack^2} a_{ij} \in A$ .
Donc : $\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*}^{2}} \frac{1}{i^2\times j^2} = S^2$ .

Exemple 2 : $I=\mathbb{Z} \, , \, a_i = e^{-i}$
Soit $J_n = \ldbrack-n,0\rdbrack \, , \, J_n \in \mathfrak{F}(\mathbb{Z})$
On a : $\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i = \sum_{i=-n}^{0} e^{-i} = \sum_{i=0}^n e^i \longrightarrow_{n\to+\infty} +\infty$
Donc : $A=\lbrace \displaystyle \sum_{i\in J} a_i \: / \: J\in\mathfrak{F}(\mathbb{Z})\rbrace$ n'est pas majoré.
Donc $(e^{-i})_{i\in\mathbb{Z}}$ n'est pas sommable.

Remarques :
1) Soit $(a_i)_i$ une famille de réels positifs sommable, alors : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i \geq 0$ .
Si $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0$ , $\forall J\in\mathfrak{F}(I) \: : \: 0\leq \displaystyle \sum_{i\in J} a_i \leq 0$
D'où $\forall J\in\mathfrak{F}(I) \: : \: \displaystyle \sum_{i\in J} a_i = 0$ .
En particulier : $\forall j \in I \: : \: \displaystyle \sum_{i\in\lbrace j\rbrace } a_i=0$ , ie : $\forall j \in I \: : \: a_j=0$ .
Réciproquement, si la famille est nulle, elle est sommable de somme 0.
Conclusion : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0$ ssi $\forall i \in I \, , \, a_i = 0$ .
2) Toute sous famille d'une famille de réels positifs sommable est elle-même sommable de somme plus petite.

Théorème :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles de réels positifs tq : $\forall i \in I \: : \: a_i \leq b_i$ . Alors :

Si $(b_i)_{i\in I}$ est sommable, il en est de même de $(a_i)_{i\in I}$ et on a : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i \leq \displaystyle \sum_{i\in I} b_i$ .

Si $(a_i)_{i\in I}$ n'est pas sommable, il en est de même de $(b_i)_{i\in I}$ .

Exemples :
Exemple 1 : $I = \mathbb{N}^{*}^2 \, , \, a_{ij} = \frac{2}{i^4+j^4}$
Pour tout $(i,j)\in \mathbb{N}^*^2$ , on a : $i^4+j^4 \geq 2i^2\times j ^2$
D'où : $a_{ij} \leq \frac{1}{i^2\times j^2} = b_{ij}$
Comme $(b_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^*^2}$ est sommable (d'après un exemple précédent), on a : $(a_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^*^2}$ est sommable.

Exemple 2 : $\left(\frac{ln(i+2)}{i}\right)_{i\in\mathbb{N}^*}$
On a : $\frac{1}{i} \leq \frac{\ln(i+2)}{i} \: \forall i \in \mathbb{N}^*$ .
$\left(\frac{1}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*}$ est non sommable.
On en déduit que : $\left(\frac{\ln(i+2)}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*}$ est non sommable.

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles de réels positifs indexée par $I$ sommables. Soit $c\in \mathbb{R}$ . Alors :

$(a_i+b_i)_{i\in I}$ est sommable et $\displaystyle \sum_{i\in I} (a_i+b_i) = \displaystyle \sum_{i\in I} (a_i) + \displaystyle \sum_{i\in I} (b_i)$ .

$(ca_i)_{i\in I}$ est sommable et $\displaystyle \sum_{i\in I} ca_i = c \displaystyle \sum_{i\in I} a_i$ .

Théorème :

Soit $(J_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite croissante de parties finies de $I$ tq $\bigcup_{n\in \mathbb{N}} J_n= I$ .
Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

$(a_i)_{i\in I}$ est sommable.

La suite réelle $\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n$ est majorée.

La suite réelle $\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n$ est convergente.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n}a_i\right) = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n}a_i\right)$

Exemple :
$I = \mathbb{N}^*^2 \, , \, a_{ij}=\frac{1}{(i+j)^r}$ avec : $r \in \mathbb{R}$ donné.
Soit $J_n=\lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^*^2 \, / \, i+j\leq n\rbrace$ . On a :

$(J_n)$ est croissante.

$\forall n \, , \, J_n \in \mathfrak{F}(\mathbb{N}^*^2)$ et $\bigcup_{n} J_n = \mathbb{N}^*^2$
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in J_n} a_{ij} = \displaystyle \sum_{k=2}^n \left(\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^*^2\atop i+j=k} \frac{1}{(i+j)^r}\right) = \displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^r}\left(\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^*^2\atop i+j=k} 1\right) = \displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^r} .Card\lbrace (i,j)\in \mathbb{N}^*^2 / i+j=k\rbrace = \displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k-1}{k^r}$ .
Or, $\displaystyle \frac{n-1}{n^r} \sim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^{r-1}}$
Donc : $(a_{ij})_{(i,j)}$ sommable $\Longleftrightarrow \displaystyle \sum \frac{n-1}{n^r}$ converge $\Longleftrightarrow r - 1 > 1 \Longleftrightarrow r > 2$ .
En outre dans ce cas : $\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^*^2} \frac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in J_n} \frac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k-1}{k^r}$ .
Soit : $\zeta : x \longrightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x}$ , $D_{\zeta} = ]1,+\infty[$ d'après la règle de Riemann.
Alors : $\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^*^2} \frac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{k^{r-1}} -\frac{1}{k^r} \right) = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r-1}} - \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r}} = \zeta(r-1) - \zeta(r)$ .
La fonction $\zeta$ est appelée la fonction Zéta de Riemann.

Rappel :
On dit que $(J_n)$ est une suite exhaustive de $\mathbb{N}$ ssi :

$J_n$ est une partie finie de $\mathbb{N}$ .

$J_n\subset J_{n+1}$ .

$\bigcup J_n = \mathbb{N}$ .

Proposition :

Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels positifs.
Alors $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est sommable ssi la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n$ converge .
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ .

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille dénombrable de réels positifs, soit $\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I$ une bijection .
Alors $(a_i)_{i\in I}$ est sommable ssi $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)}$ converge.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}$ .

Corollaire :

Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels positifs, soit $\sigma$ une permutation de $\mathbb{N}$ .
On a alors : $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n$ converge ssi $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)}$ , et dans ce cas : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}$ .

III. Famille sommable d'éléments de K (cas général)

1. Sommabilité

Définition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de $K$ indexée par $I$ .
On dit que $(a_i)_{i\in I}$ est sommable ssi $(|a_i|)_{i\in I}$ est sommable en tant que famille de réels positifs.

Exemples :
1) $I = \mathbb{N}^*^2 \, ; \, a_{ij}=\frac{(-1)^i}{(i+j)^} (r>2)$
$|a_{ij}| = \frac{1}{(i+j)^r}$ et $r>2$ ; d'après un exemple précédent : $(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^*^2}$ est sommable.
2) $I = \mathbb{Z}^* \, ; \, a_n = \frac{e^{in}}{n^2}$
On a : $|a_n|=\frac{1}{n^2}$ , donc $(a_n)_{n\in\mathbb{Z}^*}$ est sommable.

Remarques :

Toute famille finie d'éléments de $K$ est sommable.

Toute famille presque nulle d'éléments de $K$ est sommable.

Toute sous famille d'une famille sommable d'éléments de $K$ est, elle-même sommable.

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de $K$ et $(b_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs indexée par le même $I$ tq :
$(\forall i \in I) \: : \: |a_i|\leq b_i$ . Alors :

Si $(b_i)_{i\in I}$ est sommable, il en est de même de $(a_i)_{i\in I}$ .

Si $(a_i)_{i\in I}$ est non sommable, il en est de même de $(b_i)_{i\in I}$ .

Remarque :
On note $\mathfrak{l}^1(I)$ l'ensemble des familles sommables d'éléments de $K$ indexés par $I$ .

$\mathfrak{l}^1(I) \not = \not O$ car il contient la famille nulle.

$\mathfrak{l}^1(I) \subset K^I$ .

$\mathfrak{l}^1(I)$ est stable par combinaison linéaire.

$\mathfrak{l}^1(I)$ est un $K$ -ev, sev de $K^I$ .

Proposition :

Soit $(z_p)_{p\in I}$ une famille des nombres complexes indexée par $I$ et soit $a_p = \mathfrak{Re}(z_p)$ et $b_p = \mathfrak{Im}(z_p)$ .
Alors $(z_p)_{p\in I}$ est sommable ssi $(a_p)_{p\in I}$ et $(b_p)_{p\in I}$ sont sommables.

2. Somme d'une famille sommable

Théorème - Définition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille sommable d'éléments de $K$ . Soit $(J_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite exhaustive de $I$ , alors :

La suite $(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i )$ est convergente dans $K$ .

La limite de cette suite ne dépend pas du choix de $(J_n)_{n\in \mathbb{N}}$ , on l'appelle la somme de la famille $(a_i)_{i\in I}$ , on la note $\displaystyle \bigsum_{i\in I} a_i$ .

Remarque :
En général : $(a_i)_{i\in I}$ sommable $\Rightarrow \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)$ converge.
La réciproque est fausse en général .

Contre-exemple :
Soit $I = \mathbb{N} \, , \, a_i = \frac{(-1)^i}{i+1}$ et $J_n = \ldbrack0,n\rdbrack$
$(J_n)$ est exhaustive de $\mathbb{N}$ .
$\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i \right) = \left(\displaystyle \sum_{i=0}^N \frac{(-1)^1 }{i+1}\right)$ converge (critère des séries alternées).
Or, $\left(|a_i|\right)_{i\in\mathbb{N}}$ n'est pas sommable car $\sum \frac{1}{n+1}$ diverge.
Donc $(a_i)_{i\in\mathbb{N}}$ n'est pas sommable.

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles sommables d'éléments de $K$ et soit $\lambda \in\mathbb{R}$ . Alors :

$(\lambda a_i + b_i)_{i\in I}$ est sommable.

$\displaystyle \sum_{i\in I} \left(\lambda a_i+b_i\right) = \lambda \displaystyle \sum_{i\in I} a_i + \displaystyle \sum_{i\in I} b_i$

Proposition :

Soit $(z_k)_{k\in \mathbb{N}}$ une famille de nombres complexes. On pose : $a_k = \mathfrak{Re}(z_k)$ et $b_k = \mathfrak{Im}(z_k)$ . Alors :

$(z_k)_{k\in \mathbb{N}}$ est sommable ssi $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ et $(b_k)_{k\in \mathbb{N}}$ sont sommables.

Si $(z_k)_{k\in \mathbb{N}}$ est sommable, on a : $\displaystyle \sum_{k\in I} a_k = \displaystyle \sum_{k\in I} a_k + i \displaystyle \sum_{k\in I} b_k$

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille sommable d'éléments de $K$ . Alors :
$|\displaystyle \sum_{i\in I} a_i | \leq \displaystyle \sum_{i\in I} |a_i|$

Théorème :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles d'éléments de $K$ tq : $(a_i ^2)_{i\in I}$ et $(b_i ^2)_{i\in I}$ sont sommables.
Alors : $(\bar{a_i} b_i)_{i\in I}$ est sommable.
De plus, dans ce cas : $|\displaystyle \sum_{i\in I} \bar{a_i} b_i | \leq \left(\displaystyle \sum_{i\in I} |a_i|^2\right)^{1/2}\left(\displaystyle \sum_{i\in I} |b_i|^2\right)^{1/2}$

Théorème :

Soit $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $K$ . Alors la suite $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est sommable ssi la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n$ converge absolument.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ .

Proposition :

Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de $K$ , soit $\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I$ une bijection.
Alors $(a_i)_{i\in I}$ est sommable ssi : $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)}$ converge absolument.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}$

Corollaire :

Soit $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $K$ et $\sigma$ une permutation de $\mathbb{N}$ . Alors :
$\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n$ converge absolument ssi $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)}$ converge absolument.
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}$ .

IV. Suites doubles sommables

Théorème :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 0 } b_n$ deux séries absolument convergentes.
Alors la suite double $(a_n b_m)_{(n,m)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable et on a : $\displaystyle \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}^2} a_n b_m = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)$ .

Théorème : "d'interversion des sommations"

Soit $(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}$ une suite double de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

$(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable.

$\lbrace \forall i\in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{j\geq 0}a_{ij} \text{ convege. } \\ \displaystyle \sum_{i\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} a_{ij}\right) \: \text{ converge.} \.$

$\lbrace \forall j\in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{i\geq 0}a_{ij} \text{ convege. } \\ \displaystyle \sum_{j\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} a_{ij}\right) \text{ converge.} \.$
De plus, dans ce cas : $\displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right)$ .

Théorème de "Fubini" :

Soit $(a_{ij})_{(i,j) \in \mathbb{N}^2}$ une suite double d'éléments de $K$ . Alors si $(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable, on a :

$\lbrace \forall i\in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{j\geq 0}a_{ij} \text{ convege absolument.} \\ \displaystyle \sum_{i\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} a_{ij}\right) \text{ converge absolument.} \.$

$\lbrace \forall j \in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{i\geq 0}a_{ij} \text{ converge absolument.} \\ \displaystyle \sum_{j\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right) \text{ converge absolument.} \.$

$\displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right)$ .

Remarque :
La réciproque du théorème de Fubini est fausse en général.

Exemple :
Soient $a,b \in\mathbb{C} \, ; \, |U_{ij}| = \frac{a^ib^j}{(i+j)!}$
On a : $|U_{ij}| \leq \frac{|a|^i}{i!}\frac{|b|^j}{j!}$
On sait que : $\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|a|^n}{n!} \text{ et } \displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|b|^n}{n!}$ sont deux séries à termes positifs convergentes.
Donc $(U_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable.
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in A_n} \frac{a^ib^j}{(i+j)!}$ avec $A_n = \lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^2/i+j\leq n\rbrace$ .
Donc : $\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\ti+\infty} \displaystyle \sum_{k=0} \left(\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2/ i+j = k} \frac{a^ib^j}{(i+j)!}\right) = \displaystyle \lim_{n\ti+\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left(\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2/ i+j=k} a^ib^j\right)$

Si $a \not= b$ :
On a : $b^{k+1} - a^{k+1} = (b - a) \displaystyle \sum_{i=0}^k a^i b^{k-i} = (b - a) \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2 / i+j=k} a^i b^j$
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{(b-a)k!} = \frac{1}{b-a}\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{k!} = \frac{be^b-ae^a}{b-a}$ .

Si $a = b$ :
$\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^i b^j}{(i+j)!} = \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^{i +j}}{(i+j)!} = (a+1)e^a$ .

Contre-exemple :
Considérons la famille $(u_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ définie par $u_{m,n} = \frac{1}{m^2-n^2}$ si $m \neq n$ et $u_{n,n} = 0$ .
Il est clair que pour $m$ fixé la série $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} u_{m,n}$ est convergente et que pour $n$ fixé la série $\displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} u_{m,n}$ est convergente.
On a $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{0,n} = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} < 0$
Soit $m > 0$ . Comme $\frac{1}{m^2-n^2} = \frac{1}{2m(m+n)}+\frac{1}{2m(m-n)}$ et comme $\frac{1}{2m(m+n)} + \frac{1}{2m(m-(2m+n))} = 0$ , on voit que $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n} = -\frac{3}{4m^2}$ car dans la somme les seuls termes qui ne s'annulent pas deux à deux sont $\frac{-1}{2m^2}$ et $\frac{-1}{4m^2}$ . Ceci montre que la série $\displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right)$ est convergente et que $\displaystyle \sum_{m=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right) < 0$ .
Mais on a $u_{m,n} = -u_{n,m}$ pour tout couple $(m,n)$ , donc $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{m=0}^\infty u_{m,n}\right) > 0$ et on voit que dans ce cas
$\displaystyle \sum_{m=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right) \neq \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{m=0}^\infty u_{m,n}\right)$

V. Groupements de termes

Les séries envisagées dans ce paragraphe sont à termes dans un evn $E$ .

Définitions générales :

Soient $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ une série et $\sigma : \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}$ une extractrice (application linéaire strictement croissante). Notons pour tout $n\in\mathbb{N} \: : \: v_n = \displaystyle \sum_{k = \sigma(n)}^{\sigma(n+1)-1} u_k$ .
On dit que la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ a été obtenue par groupement de termes à partir de la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ .
Les $v_n$ sont appelés les paquets et $\sigma(n+1) - \sigma(n)$ est appelée la longueur du paquet $v_n$ .

Nous nous intéressons ici aux liens éventuels entre les natures de $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ et, dans le cas de convergence, aux liens éventuels entre leurs sommes.

Proposition :

Si $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ converge, alors $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ converge et : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k$ .

Remarque :

La réciproque de cette proposition est fausse en général.

Cette proposition n'est pas pratique car elle suppose que $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ converge déjà.

Théorème : "de groupement de termes" :

Avec les notations précédentes :
Si $\lbrace u_n \longrightarrow_{n\to+\infty} 0 \\ \left(\sigma(n+1) - \sigma(n)\right)_{n\in\mathbb{N} \text{ est born\bar{e}e} \/$ , alors les séries $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ sont de même nature et, dans le cas de convergence, on a : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k$ .

Remarque :
Si la longueur des paquets n'est pas bornée, il se peut que $\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ diverge et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n$ converge.

Exemple :
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \cdots$
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n$ diverge d'après la proposition précédente, puisque la série groupée ainsi :
$1 + \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) - \cdots$ diverge.
Et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n = \left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \cdots$ qui converge.

Les Séries Entières : Étude complète

Prérequis : Suites et séries de fonctions.

I. Définitions
$\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$ .
Étant donné une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de nombres complexes, on lui associe la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geq 0} f_n$ où : $\begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{K} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & a_n z^n \end{array}$
$\displaystyle \sum_{n \geq 0} f_n$ est dite la série entière associée à $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dont elle est appelée la suite des coefficients.
$\displaystyle \sum_{n \geq 0} f_n$ est dite série entière de la variable réelle si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , et de la variable complexe si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ .

Une série entière de coefficients $(a_n)$ se note généralement : $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ ou $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ .

II. Convergence d'une série entière

1. Rayon de convergence

Lemme d'Abel :

Soit $\displaystyle \sum a_nz ^n$ une série entière et $r > 0$ tq $(a_n r^n)_n$ est bornée.
Alors, pour tout $z \in \mathbb{K}$ on a : $|z| < r$ entraîne $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ converge absolument.

Théorème - Définition :

Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière. Alors il existe un unique nombre noté $R$ avec $R \in [0 , +\infty[ \cup \lbrace +\infty \rbrace$ tq :
$\forall z \in \mathbb{K} \, : \, \left \lbrace \begin{array}{llll} |z| < R & \Longrightarrow & \displaystyle \sum a_n z^n & \text{ converge absolument } \\ |z| > R & \Longrightarrow & \displaystyle \sum a_n z^n & \text{ diverge} \\ \end{array} \right.$
$R$ s'appelle le rayon de convergence de $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ .

Exemple :
$\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{n}{n^2+1} z^n$ :
Pour $|z| < 1 \, : \, \left|\displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n \right| = \displaystyle \frac{n}{n^2+1} |z|^n =o \left(\frac{1}{n^2}\right)$ ; $\sum \displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n$ converge absolument.
Pour $|z| > 1 \, : \, \left|\displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n \right| = \displaystyle \frac{n}{n^2+1} |z|^n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$ ; $\sum \displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n$ diverge.
Donc $\boxed{R = 1}.$

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ . Alors :
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace r \in \mathbb{R}_+ / (a_n r^n) \text{ bornée } \rbrace$ .
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace |z| / z \in \mathbb{K} \text{ et } \sum a_n z^n \text{ converge absolument } \rbrace$ .
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace |z| / z \in \mathbb{K} \text{ et } \sum a_nz^n \text{ converge } \rbrace$ .
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace |z| / z \in \mathbb{K} \text{ et } a_nz^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \rbrace$ .
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace |z| / z \in \mathbb{K} \text{ et } (a_n z^n) \text{ converge } \rbrace$ .

Notation et vocabulaire :
Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ . Alors $D(0 , R) = \lbrace z \in \mathbb{K} / |z| < R \rbrace$ est appelé le disque de convergence de $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ .
En particulier, si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , $D(0,R) = ]-R , R[$ ; on l'appelle l'intervalle de convergence.

Remarques :
1) Si $f$ est la somme de la série entière $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ , alors : $D(0 , R) \subset D_f \subset \overline{D(0 , R)}$ .
2) Si $\forall z \in \mathbb{K}$ :
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ converge $\Longleftrightarrow$ $\displaystyle \sum_{n \geq 0 } b_n z^n$ converge.
Ou :
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ convergence absolument $\Longleftrightarrow$ $\displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n$ converge absolument.
Alors : $R_{cv} \left(\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n \right) = R_{cv} \left( \displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n \right)$

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ et $\displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n$ deux séries entières de rayon de convergence $R_a \text{ et } R_b$ respectivement.
Si $a_n \sim b_n$ , alors : $R_a = R_b$ .

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ et $\displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n$ deux séries entières de rayon de convergence $R_a \text{ et } R_b$ respectivement.
S'il existe $n_o \in \mathbb{N}$ tq : $\forall n \geq n_o \, : \, |a_n| \leq |b_n|$ , alors : $R_b \leq R_a$ .

Proposition :

Soit $f$ une fonction rationnelle n'ayant pas de pôles entiers. Alors le rayon de convergence de $\displaystyle \sum_{n\geq 0} f(n)z^n$ est égal à 1.

Remarque :
L'utilisation de la règle de D'Alembert est pratique surtout pour les séries entières dites lacunaires :
C'est-à-dire les séries de la forme $\displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^{\psi (n)}$ tq $\psi$ une extractrice et : $\displaystyle \sum_{n\geq 0} b_n z^{\psi (n)} = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ avec $\left \lbrace \begin{array}{l} a_{\psi(n)} = b \\ a_k = 0 \text{ si } k \not \in \psi(\mathbb{N})} \end{array} \right .$

Exemple :
   $\displaystyle \sum n \frac{a^n}{2^n} z^{3n}$ avec $a \in \mathbb{K}^$ :
Pour $z \neq 0$ , on pose : $b_n(z) = \displaystyle \frac{na^n}{2^n} z^{3n}$ .
$\forall n \geq 1 \, : \, \left| \displaystyle \frac{b_{n+1}(z)}{b_n(z)} \right| = \left| \displaystyle \frac{n+1}{n} \frac{a}{2} z^3 \right| = \displaystyle \frac{n+1}{n} \frac{|a|}{2} |z|^3 \xrightarrow[n\to+\infty]{} \displaystyle \frac{|a|}{2} |z|^3$ .
   Si $\displaystyle \frac{|a|}{2} |z|^3 < 1$ (ie $|z| < \left(\displaystyle \frac{2}{|a|} \right)^{\frac{1}{3}}$ ) : donc $\displaystyle \sum n \displaystyle \frac{a^n}{2^n} z^{3n}$ converge absolument.
   Si $\displaystyle \frac{|a|}{2} |z|^3 > 1$ (ie $|z| > \left(\displaystyle \frac{2}{|a|}\right)^{\frac{1}{3}}$ ) : alors $\displaystyle \sum n\frac{a^n}{2^n} z^{3n}$ diverge.
On déduit que $R = \left(\displaystyle \frac{2}{|a|}\right)^{\frac{1}{3}}$
Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ une série entière, soit $R$ (resp. $R_1$ resp. $R_2$ ) le rayon de convergence de $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ (resp. $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{2n} z^{2n}$ et $\displasystyle \sum_{n \geq 0} a_{2n+1} z^{2n+1}$ ). Alors $R = \min(R_1 ,R_2)$ .
De plus : $\forall z \in \mathbb{K} \, , \, |z| < R \, : \, \displaystyle \sum_{n= 0}^{+\infty} a_{n} z^{n} = \displaystyle \sum_{n= 0}^{+\infty} a_{2n} z^{2n} + \displaystyle \sum_{n= 0}^{+\infty} a_{2n+1} z^{2n+1}$ .

Exemple : $\displaystyle \sum_{n\geq 1} a_n z^n$ avec : $a_n = n^{(-1)^n}$ :
$\displaystyle \sum a_{2n}z^{2n} = \displaystyle \sum 2n z^{2n}$ , donc $R_1 = 1$ .
$\displaystyle \sum a_{2n+1}z^{2n+1} = \displaystyle \sum \frac{1}{2n+1}z^{2n}$ , donc $R_2 = 1$ .
On en déduit que $\boxed{R = 1}$ .
Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ , soit $f$ une fonction rationnelle n'ayant pas de pôles dans $\mathbb{N}$ .
Alors le rayon de convergence de $\displaystyle \sum f(n) a_n z^n$ est égal à $R$ .

2. Convergence ponctuelle

Théorème :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ .
Alors $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ converge normalement sur tout compact inclus dans $D(0 , R)$

Remarque :
Il se peut qu'une série entière de rayon de convergence positif ne converge pas normalement sur le disque $D(0 , R)$ .
Corollaire :

La somme d'une série entière de rayon de convergence positif est continue sur le disque $D(0 , R)$ .

III. Opérations sur les séries entières
Soit $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ , $\displaystyle \sum_{n \geq 0 } b_n z^n$ deux séries entières de rayons de convergence $R_a$ et $R_b$ respectivement.
Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ .
On pose : $S_n = a_n + b_n$ , $t_n = \lambda a_n$ et $c_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ .
On note $R_S \, , \, R_t$ et $R_c$ les rayons de convergence respectivement des séries entières : $\displaystyle \sum S_n z^n$ , $\displaystyle \sum t_n z^n$ et $\displaystyle \sum c_n z^n$ .

i)
$R_S \geq \min(R_a,R_b)$ .
$\forall z \in \mathbb{K} \, : \, |z| \leq \min(R_a , R_b) \, \Longrightarrow \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(a_n + b_n)z^n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n$ .

ii)
$R_t = \left \lbrace \begin{array}{l} +\infty \text{ si } \lambda = 0 \\ R_a \text{ si } \lambda \neq 0 \\ \end{array} \right .$
$\forall z \in \mathbb{K} \, : \, |z| < R_a \, \Longrightarrow \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda a_n z^n = \lambda \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ .

iii)
$R_c \geq \min(R_a,R_b)$ .
$\forall z \in \mathbb{K} \, : \, |z| \leq \min(R_a,R_b) \, \Longrightarrow \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)z^n = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n \right)$ .

IV. Propriétés de la somme d'une série entière de la variable réelle
Ici, $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n$ est une série entière de la variable réelle dont le rayon de convergence $R$ est supposé positif et dont la somme est noté $f$ .
$f$ est définie sur au moins $]-R , R[$ , on rappelle que $f$ est continue sur cet intervalle.
Théorème :

La série entière $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}$ est de rayon de convergence $R$

De plus, on a : $\forall x \in ]-R,R[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} = \displaystyle \int_0^{x} f(t) \text{d}t$ .

Remarque :
Soit $p , q \in ]-R , R[ \, : \, \displaystyle \int_{p}^q f(t) \text{d}t = \displaystyle \int_{0}^q f(t) \text{d}t - \displaystyle \int_{0}^p f(t) \text{d}t$ .
$\displaystyle \int_{p}^q f(t) \text{d}t = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{q^{n+1}}{n+1} - \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{p^{n+1}}{n+1} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{q^{n+1}-p^{n+1}}{n+1} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \int_{p}^q a_n t^n \text{d}t$ .
Autrement dit : $\displaystyle \int_p^q \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n \right) \text{d}t = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \int_p^q a_n t^n \text{d}t\right)$ .
On dit qu'une série entière s'intègre terme à terme entre deux points quelconques de son intervalle de convergence .
Théorème :

Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , la série entière $\displaystyle \sum_{n \geq k} a_n \displaystyle \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}$ a pour rayon de convergence $R$ .
$f$ est de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ sur $]-R , R[$ et on a : $\forall k \in \mathbb{N} \, , \, \forall x \in ]-R , R[$ : $f^{(k)} (x) = \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}$ .

Exemple :
Soit $f(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)}$ .
On a : $R = 1$ ; $f$ est donc définie et continue sur $]-1 , 1[$ .
$f(1)$ et $f(-1)$ existent, donc : $D_f = [-1 , 1]$ .
$\forall n \geq 2 \, , \, \forall x \in [-1,1] \, : \, \left| \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)} \right| \leq \displaystyle \frac{1}{n(n-1)} = \alpha_n$ .
$\displaystyle \sum \alpha_n$ converge, donc $f$ est somme uniforme sur $[-1 , 1]$ d'une série de fonctions continue sur $[-1 , 1]$ , alors $f$ est continue sur $[-1,1]$ .
$f$ est de classe $\mathfrak{C}^\infty$ sur $]-1,1[$ :
$f'(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-1}}{n-1}$    et    $f''(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} x^{n-2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \displaystyle \frac{1}{1-x}$ .
$f'(x) = \displaystyle \int_{0}^x f''(t) \text{d}t$ (car $f'(0) = 0$ ).
Donc : $f'(x) = \displaystyle \int_{0}^x f''(t) \text{d}t = \displaystyle \int_{0}^x \displaystyle \frac{\text{d}t}{1-t} = -\ln(1-x)$ .
et puisque $f(0) = 0$ ,
$f(x) = \displaystyle \int_{0}^x f'(t) \text{d}t = (1 - x) \ln(1 - x) + x \hspace{20pt} \forall x \in ]-1 , 1[$ .
Donc : $\boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)} = (1 - x)\ln(1 - x) + x \hspace{20pt} \forall x \in ]-1 , 1[}$ .

Remarque :
On avait obtenu : $\forall x \in ]-1 , 1[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)} = (1-x)\ln(1-x) + x$ .
Donc : $f(-1) = \displaystyle \lim_{n\to-1^+} f(x) = 2\ln 2 -1$ , on en déduit : $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n(n-1)} = 2\ln2-1$ .
Essayons de démontrer ce résultat directement en étudiant la somme partielle de la série :
Soit $N > 1 \, :$
$\displaystyle \sum_{n=2}^{2N+1} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n(n-1)} \\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k(2k-1)} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{2k(2k+1)} \\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \left(\displaystyle \frac{1}{2k-1} - \displaystyle \frac{1}{2k}\right) - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \left(\displaystyle \frac{1}{2k} - \displaystyle \frac{1}{2k+1}\right)\\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k-1} + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}$
$= \displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} \displaystyle \frac{1}{2k+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}\\ = 2\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} \displaystyle \frac{1}{2k+1} + 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}\\ = 2 \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1} \displaystyle \frac{1}{2k+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k} \right) + 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}$
$= 2 \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{2N} \displaystyle \frac{1}{k}\right) - 2 \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k} - 2 + 1 + \displaystyle \frac{1}{2N + 1} \\ = 2 \left(\gamma_{2N} +\ln (2N)\right) - 2 \left(\gamma_N + \ln N\right) - 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} \\ = 2 \gamma_{2N} - 2\gamma_{N} + 2\ln 2 - 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 2\ln2-1$
On conclut que la méthode des séries entières est plus performante que la méthode directe.

Rappel : La constante d'Euler
On pose : $\gamma_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n - \ln(n)$
Etudions la convergence de la suite $(\gamma_n)$ en introduisant la série téléscopique $\displaystyle \sum U_n$ tq :
$U_n = \gamma_n-\gamma_{n+1} \\ = - \displaystyle \frac{1}{1+n} + \ln(n+1)-\ln(n) \\ = - \displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \\ = - \displaystyle \frac{1}{n} \left(1 - \displaystyle \frac{1}{n} + o \left(\displaystyle \frac{1}{n} \right) \right) + \left(\displaystyle \frac{1}{n} - \displaystyle \frac{1}{2n^2} + o \left(\displaystyle \frac{1}{n^2}\right)\right) \\ = \displaystyle \frac{1}{2n^2} + o \left(\displaystyle \frac{1}{n^2}\right)$
Donc : $\displaystyle U_n \mathop{\sim}\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$ .
La suite étant réelle, $U_n \geq 0$ à partir d'un certain rang $n_o$ ( $\displaystyle \sum U_n$ est à terme positif à partir du rang $n_o$ ) .
Donc : $\displaystyle \sum_{n\geq n_o} U_n$ converge, alors : $\displaystyle \sum_{n\geq 1 } U_n$ converge.
On en déduit que : $(\gamma_n)$ converge.
Définition :

La limite de la suite $\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{1}{k} - \ln(n) \right)_{n\geq 1}$ est appelée la constante d'Euler, on la note $\gamma$ .

Remarque :
On a : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{1}{k} - \ln(n) - \gamma = o(1)$ , d'où : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln(n) +\gamma + o(1)$

V. Développement en série entière (DSE)

1. Généralités
$I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ tq $0 \in I^o$ .
Définition :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ et $r > 0$ tq : $]-r , r[ \subset I$ .
On dit que $f$ est développable en série entière (DSE) sur $]-r , r[$ ssi il existe une série entière $\displaystyle \sum a_n x^n$ de rayon de convergence $R \geq r$ tq : $\forall x \in ]-r , r[$ : $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ .
De manière plus générale si $x_0 \in I$ et si on dit que f est développable en série entière au voisinage de $x_0$ s'il existe $r > 0$ tel que $]x_0 - r , x_0 + r[ \subset I$ et une série entière $\displaystyle \sum a_n x^n$ de rayon de convergence $R \geq r$ tels que $\left(\forall x \in]x_0-r,x_0+r[ \right) \quad f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n$

Définition :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ , on dit que $f$ DSE au voisinage de $0$ ssi il existe $r > 0$ tq : $\left \lbrace \begin{array}{l} ]-r , r[ \subset I \\ f \text{ est DSE sur } ]-r,r[ \\ \end{array}$
On note : $f \in DSE(0)$ .

Exemples :
$a \in \mathbb{C} \, , \, f : x \longrightarrow e^x$
La fonction $f$ est DSE sur $\mathbb{R}$ avec : $\boxed{e^{ax} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{a^n}{n!} x^n }$ .
$\begin{array}{rccl} f : & ]-\infty , 1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \frac{1}{1-x} \\ \end{array}$
La fonction $f$ est DSE sur $]-1 , 1[$ avec : $\boxed{\displaystyle \frac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n}$ .
Soit $a \in \mathbb{K} \backslash \lbrace 0 \rbrace$ , $f : x \mapsto \displaystyle \frac{1}{a-x}$ :
$f$ est définie sur $]-|a| , |a|[$ .
Sur cet intervalle, $f$ est DSE.
En effet, $f(x) = \displaystyle \frac{1}{a} \left( \displaystyle \frac{1}{1 - \displaystyle \frac{x}{a}} \right)$
Or : $\left| \displaystyle \frac{x}{a} \right| = \displaystyle \frac{|x|}{|a|} < 1$
D'où : $f(x) = \displaystyle \frac{1}{a} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{x}{a} \right)^n$ , donc : $\boxed{\displaystyle \frac{1}{a-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{a^{n+1}}}$ .
Soit $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}$ polynômiale de degré $p$ :
Alors : $f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_px^p$ avec $a_i \in\mathbb{C} \, \forall i \in \lbrace 1,\cdots, p \rbrace$ et $a_p \neq 0$ .
En posant $a_n = 0 \, \forall n > p$ .
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n$ converge pour tout $x \in \mathbb{R}$ de somme $f(x)$ .
Toute fonction polynômiale est DSE sur $\mathbb{R}$ et elle est son propre développement.
Théorème :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ DSE sur $]-r , r[ \subset I$ avec $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ . Alors :
$f$ est de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ sur $]-r , r[$ .
$\forall n \in \mathbb{N} \, : \, a_n = \displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ .

Exemple :
$\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \left \lbrace \begin{array}{l} \displaystyle \frac{e^x-1}{x} \text{ si } x \neq 0 \\ 1 \text{ si } x = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$
Soit $x \in \mathbb{R}$ ; on a : $e^x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n!}$
D'où : $e^x - 1 = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n!}$ .
Si $x \neq 0 \, : \, \displaystyle \frac{e^x-1}{x} = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{n-1}}{n!} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{n}}{(n+1)!}$
C'est-à-dire : $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{(n+1)^!}$ .
Et cela reste vrai pour $x = 0$ ; donc $\forall x \in \mathbb{R} \, : \, f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{(n+1)^!}$ .
On conclut que $f$ est DSE sur $\mathbb{R}$ donc $\mathfrak{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ .
Corollaire :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ et $r > 0$ tq : $]-r , r[ \subset I$ .
Si $f$ est DSE sur $]-r , r[$ avec $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ . Alors $(a_n)_n$ est unique.

Exemple :
Soit $\begin{array}{rccl} f: & ]-1,1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \frac{1}{(1-x^2)(1+x)} \\ \end{array}$
Méthode 1 :
Pour $|x| < 1 \, : \, \displaystyle \frac{1}{1-x^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^{2n}$    et    $\displaystyle \frac{1}{1+x} =\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n$ .
D'où, pour $|x| < 1 \, : \, f(x) = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^{2n}\right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \right)$ $= \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^{n}\right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \right)$ avec : $\left \lbrace \begin{array}{l} a_{2n} = 1 \\ a_{2n+1} = 0 \\ \end{array} \right.$
D'où : $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k (-1)^{n-k} \right) x^n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{E(\frac{n}{2})} a_{2k} (-1)^{n-2k} \right) x^n$ , pour $|x| < 1$
Donc la méthode 1) nous fournit : $\boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \left(E \left(\displaystyle \frac{n}{2} \right) + 1 \right) x^n}$ pour $|x| < 1$ .

Méthode 2 :
On a : $f(x) = \displaystyle \frac{1}{(1-x)(1+x)^2}$ et pour $|x| < 1$ : $\displaystyle \frac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n$ .
Or, $\displaystyle \frac{1}{(1+x)^2} = \left(\frac{-1}{x+1}\right)' = -\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \right)' = -\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} n x^{n-1} =\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} n x^{n-1}$ .
On obtient : $\displaystyle \frac{1}{(1+x)^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (n+1) x^{n}$ .
$f(x) = \left( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}x^n \right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (n+1) x^{n} \right)$
Donc la méthode 2) nous fournit : $\boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{n} (-1)^{k} (k+1) \right) x^{n}}$ .

Méthode 3 :
Décomposons $f$ en fractions rationnelles : $f(x) = \displaystyle \frac{a}{1-x} + \displaystyle \frac{b}{1+x} + \displaystyle \frac{c}{(1+x)^2}$
On obtient par calcul : $a = \displaystyle \frac{1}{4} \, , \, c = \displaystyle \frac{1}{2} \text{ et } b = \displaystyle \frac{1}{4}$ $\left(f(0) = 1 = a + b + c \right)$
$f(x) = \displaystyle \frac{1}{4(1-x)} + \displaystyle \frac{1}{4(1+x)} + \displaystyle \frac{1}{2(1+x)^2} \\ = \frac{1}{4} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n + \displaystyle \frac{1}{4} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n + \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n (n+1)x^n \\ = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n+2(-1)^n(n+1)}{4} x^n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n(2n+3)}{4} x^n$ .
La méthode nous fournit : $\boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n(2n+3)}{4} x^n}$
Par unicité du DSE sur $]-1 , 1[$ , on a : $\boxed{(-1)^n \left(E \left(\displaystyle \frac{n}{2} \right) + 1\right) = \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k (k+1) = \displaystyle \frac{1+(-1)^n(2n+3)}{4}}$
Définiton :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ .
La série entière $\displaystyle \sum_{n\geq 0} \displaystyle \frac{f^{(n)} (0) }{n!} x^n$ est appelée la série de Taylor de $f$ .

2. Techniques de calcul de DSE au voisinage de 0
Il existe plusieurs méthodes de calcul d'un DSE d'une fonction, nous citerons ici les plus utilisées, mais cela ne veut pas dire qu'elles sont les seules, on peut très bien avoir affaire à d'autres méthodes.

Notations et vocabulaire :
Si $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ (avec $|x| < r$ ) est un DSE sur $]-r , r[$ alors le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n$ est appelé le rayon de convergence du DSE de $f$ .
Le plus grand intervalle ouvert $]-r , r[$ sur lequel ce développement est valable s'appelle le domaine de validité du DSE de $f$ , on le note $D_v$ .

Remarque :
$D_v \neq D_f$ en général. (Avec $D_v$ est le domaine de validité d'un DSE de $f$ ).

Contre exemple :
$\begin{array}{rccl} f: & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \\ \end{array}$    on a : $D_v = ]-1 , 1[$ et $D_f = \mathbb{R}$ .

Technique 1 : Utilisation des opérations sur les séries entières
Supposons : $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ , $|x| < r_1$    et    $g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n$ , $|x| \leq r_2$
En posant $r = \min(r_1,r_2)$ , on a :
$\forall \lambda, \eta \in \mathbb{C}$ : $\lambda f(x) + \eta g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\lambda a_n + \eta b_n \right) x^n$ ; $R \geq r$ pour $|x| < r$ .
$f \times g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} \right) x^n$ ; $R \geq r$ pour $|x| < r$ .
Donc toute combinaison linéaire (resp. produit) de deux fonctions DSE(0) est une fonction DSE(0).

Exemples :
$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, x \longrightarrow ch(x) \text{ et } x \longrightarrow sh(x)$ :
On a : $\forall x \in \mathbb{R} \, : \, ch(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$
De plus : $e^x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n!}$ donc : $e^{-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n!} x^n$
Alors : $ch x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n}{2} \frac{x^n}{n!} \, \, \forall x \in \mathbb{R}$
Donc : $\boxed{ch x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}$
De même : $\boxed{sh x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}$
$\forall x \in \mathbb{R} \, , \, x \longrightarrow \cos x \text{ et } x \longrightarrow \sin x$ :
On a : $\forall x \in \mathbb{R} \, \, \cos(x) = \displaystyle \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ :
On a : $e^{ix} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{i^n x^n}{n!}$ et $e^{-ix} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-i)^n x^n}{n!}$
Alors : $\cos(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{i^n +(-i)^n}{2} \displaystyle \frac{x^n}{n!} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}i^{2n} \displaystyle \frac{x^{2n}}{2n!}$ .
On conclut : $\boxed{\cos(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}$
De même : $\boxed{ \sin(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}$

Technique 2 : Méthode de la dérivation et intégration
Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ dérivable tq $f'$ admet un DSE sur $]-r , r[ \subset I$ donné par : $f'(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ .
Alors : $\displaystyle \int_{0}^x f'(t)dt = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} \, , \, \forall x \in ]-r , r[$ .
D'où, $\forall x \in ]-r , r[ \, : \, f(x) = f(0) + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ .

Exemples :
$\begin{array}{rccl} f : & ]-1 , +\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \ln(1+x) \\ \end{array}$
$f$ est dérivable et $f'(x) = \displaystyle \frac{1}{1+x} \, \forall x \in ]-1 , +\infty[$ .
Or $\displaystyle \frac{1}{1+x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n$ pour tout $x$ tq : $|x| < 1$ .
D'où : $f(x) = f(0) + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}$ avec $|x| < 1$ .
C'est-à-dire : $\boxed{\ln(1+x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} \, , \, |x| < 1}$ .
$\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \arctan(x)\\ \end{array}$
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$    et    $f'(x) = \displaystyle \frac{1}{1+x^2}$ .
On a : $\displaystyle \frac{1}{1+x^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}$ avec $|x| < 1$ .
D'où : $f(x) = f(0) + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$
Donc : $\boxed{\arctan(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \, , \, |x| < 1}$ .

Technique 3 : Utilisation d'une équation differentielle linéaire
On considère l'équation différentielle linéaire d'ordre $n$ :
$(E) : y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} +\cdots + a_0(x) y = b(x)$ où : $a_0,\cdots , a_n , b \in\mathfrak{C}^o(I,\mathbb{C})$ .
Etant donné $n_0 \in I$ et $c_0 , \cdots , c_{n-1} \in \mathbb{C}$ , on admet qu'il existe une unique solution $\psi$ de $(E)$ sur $I$ tq :
$\left. \begin{array}{rcl} \psi(x_0) & = & c_0 \\ \psi '(x_0) & = & c_1\\ \vdots & & \\ \psi^{(n-1)}(x_0) & = & c_{n-1} \\ \end{array} \right \rbrace$

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ .
Si on détermine toutes les solutions de $(E)$ , DSE(0) et si l'une d'elle, $\psi$ , vérifie :
$\left. \begin{array}{rcl} \psi(0) & = & f(0) \\ \psi '(0) & = & f'(0) \\ \vdots & & \\ \psi^{(n-1)}(0) & = & f^{(n-1)}(0) \\ \end{array} \right \rbrace$

Alors $f = \psi$ , d'où $f$ est DSE(0).
Dans la pratique, on se contentera du cas où les fonctions $a_0 , \cdots , a_{n-1}, b$ sont rationnelles.

Exemple :
$\begin{array}{rccl} f : & ]-1 , +\infty[ & \longrightarrow& \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & (1+x)^a \\ \end{array} (a \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{Z} )$
$f$ est dérivable et $f'(x) = a(1 + x)^{a - 1}$ .
$(1 + x)f'(x) = a(1 + x)^a = af(x)$
$f$ est donc solution sur $]-1 , +\infty[$ de l'équation différentielle $(e) : (1+x)y' - ay = 0 \Longleftrightarrow y' - \displaystyle \frac{a}{x+1} y = 0$ .
Soit $r \in ]0 , 1]$ , soit $\psi : ]-r , r[ \longrightarrow \mathbb{C}$ de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ et DSE sur $]-r , r[$ .
Posons : $\psi(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n}$ avec $|x| < r$ .
$\psi '(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_nx^{n-1}$ .
On a :
$\psi$ est solution de $(e)$ sur $]-r , r[$ $\Longleftrightarrow \, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, (1 + x) \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} - a \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0$
$\Longleftrightarrow \, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} na_n x^{n-1} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^n - a \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0 \\ \Longleftrightarrow \, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)a_{n+1} x^n + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^n - a\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0 \\ \Longleftrightarrow \forall x \in ]-r , r[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left[(n + 1) a_{n+1} - (a - n)a_n \right] x^n = 0$ .
Par unicité du DSE sur $]-r , r[$ de la fonction nulle.
$\psi$ est solution de $(e)$ sur $]-r , r[ \, \Longleftrightarrow \, \forall n \in \mathbb{N} \, : \, a_{n+1} = \displaystyle \frac{a-n}{n+1} a_n \, \, ()$

Remarque :
Formellement : $\left| \displaystyle \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| = \displaystyle \frac{|a-n|}{n+1}|x| \longrightarrow_{n\to \infty} |x|$ . On pouvait donc prendre $r = 1$ .
$() \, \Longleftrightarrow \, \forall n \in \mathbb{N}^ \, : \, a_n = \displaystyle \frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!} a_0 = {{a}\choose {n}} a_0$
$\psi$ est solution de $(e)$ sur $]-r , r[ \, \Longleftrightarrow \, \forall x\in]-r , r[ \, : \, \psi(x) = a_0 \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {a\choose n} x^n$
Or, $\psi(0) = f(0) \, \Longleftrightarrow \, a_0 = 1$ .
On a donc trouvé le DSE de $f$ sur $]-r , r[$ et qui est : $\boxed{(1+x)^a = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {a\choose n} x^n}$

Suites numériques

I. L'ensemble des suites réelles

1. Définition d'une suite

On appelle suite réelle toute application d'une partie de $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et on note $(U_{n})_{n}$ ou $(V_{n})_{n}$ en général.

Vocabulaire :
L'ensemble des suites réelles sera noté par $\mathbb{R}^{\mathbb{N}$ .

2. Opérations algébriques
a) Egalité

Soient $(U_{n})$ et $(V_{n}) \; \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .
On dit que les suites sont égales et on note : $(U_{n}) = (V_{n})$ ssi : $(\forall n \in \mathbb{N}) : U_{n}=V_{n}$

Exemple :
$\forall n \in \mathbb{N}$ : $U_{n}= cos(n \Pi)$ et $V_{n} = (-1)^{n}$
On a $\forall n \in \mathbb{N}$ : $cos(n\Pi) = (-1)^{n}$ donc $\forall n \in \mathbb{N}$ : $U_{n} = V_{n}$ alors : $(U_{n})=(V_n)$

b) Addition

Soient $(U_n)$ et $(V_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .
La suite $(W_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ définie par : $\forall n : \; W_n = U_n +V_n$ est appelée la suite somme de $(U_n)$ et $(V_n)$ et on note : $(W_n) = (U_n+V_n)$ .

Exemple :
$\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n = n^2+1 \text{ et } V_n = 2n$
On a donc : $W_n = U_n + V_n = n^2+1+2n = (n+1)^2$ alors : $W_n = (n+1)^2$

c) Produit

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ $\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , la suite $(W_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ définie par : $\forall n : \; W_n = U_n . V_n$ est appelée la suite produit de $(U_n)$ et $(V_n)$ et on note : $(W_n) = (U_n.V_n)$

Exemple :
$\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n = (n+1)^2 \text{ et } V_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$
On a : $W_n = U_n.V_n = (n+1)^2.\frac{1}{\sqrt{n+1}}=(n+1).\sqrt{n+1}$ alors : $W_n = (n+1).\sqrt{n+1}$

d) Produit par un scalaire

Soit $(U_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et soit $\lambda \in \mathbb{R}$ , la suite $(W_n)$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; W_n= \lambda U_n$ sera noté : $(\lambda U_n)$

3. Suite minorée - majorée - bornée

Définition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ .
On dit que $(U_n)$ est majorée (respectivement minorée) ssi :
$\exists M \in \mathbb{R}, \; \forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \leq M$ (respectivement $M \leq U_n$ ).
On dit que $(U_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple :
$\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n = \sin(n^4+3n^3+5)$ .
Puisque $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; -1 \leq \sin(n^4+3n^3+5) \leq 1$ (Propriété de la fonction $\sin$ )
Alors $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; -1 \leq U_n \leq 1$ , c'est-à-dire que $(U_n)$ est bornée .

Proposition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ , $(U_n)$ est bornée ssi :
$\exists M \in \mathbb{R}^{+} \; / \; \forall n \in \mathbb{N} ) \; : \; |U_n| \leq M$ .

4. Suite croissante - décroissante - monotone

Définition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ , on dit que :
$(U_n)$ est croissante (resp. strictement croissante) ssi : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \leq U_{n+1}$ (resp. $U_n < U_{n+1}$ )
$(U_n)$ est décroissante (resp. strictement décroissante) ssi : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \geq U_{n+1}$ (resp $U_n >U_{n+1}$ )
$(U_n)$ est monotone ssi elle est croissante ou décroissante.
$(U_n)$ est strictement monotone ssi elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Exemple :
Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}} \; / \; \forall n \in \mathbb{N}) \; : \; U_n = \Bigsum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}$
Soit $n \in \mathbb{N} \; : \; U_{n+1} - U_n = \Bigsum_{k=0}^{n+1}~\frac{1}{k!} -\Bigsum_{k=0}^n~\frac{1}{k!} =\frac{1}{(n+1)!}>0$
Donc $(U_n)$ est croissante. (Même strictement croissante)

II. Notions de suites convergentes

1. Définition et propriétés de la convergence

Définitions :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ et soit $l \in \mathbb{R}$ .
On dit que $(U_n)$ converge vers $l$ ssi :
$(\forall \epsilon >0 ), ( \exists N \in \mathbb{N}) \; , \; (\forall n \in \mathbb{N}) \; : \; n \geq N \Rightarrow |U_n-l| \leq \epsilon$
Si une suite ne converge pas, on dit alors qu'elle diverge.

Vocabulaire - Notation :
$l$ est appelé limite de la suite $(U_n)$ et on note : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} U_n = l$ ou $lim_{ } U_n = l$ .

Théorème :

Si la suite $(U_n)$ converge vers une limite $l$ , cette limite $l$ est unique.

Proposition :

Toute suite convergente est bornée.

Remarque :
La réciproque est fausse en général.

Exemple :
Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}} \; / \forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n = (-1)^n$
$(U_n)$ est bornée mais pas convergente.

2. Opérations sur les limites

Théorème :

Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .
Soient $l$ et $l'$ de $\mathbb{R}$ , tq : $(x_n)$ converge vers $l$ et $(y_n)$ converge vers $l'$ , alors on a :
$\forall \lambda \in \mathbb{R}$ , la suite $(x_n + \lambda y_n)$ est convergente et on a : $\displaystyle \lim (x_n + \lambda y_n) = l + \lambda l'= \displaystyle \lim x_n + \lambda . \displaystyle \lim y_n$ .
La suite $(x_n.y_n)$ est convergente et on a : $\displaystyle \lim (x_n.y_n) = l \times l' = lim {x_n} \times lim {y_n}$ .
Si $l' \not = 0$ , alors $\exists N \in \mathbb{N} \; / \; \forall n \geq N \; : \; y_n \not = 0$ , de plus, dans ce cas, la suite $\left( \frac{x_n}{y_n}\right)$ est convergente et on a : $lim \left(\frac{x_n}{y_n}\right) = \frac{l}{l'} = \frac{\displaystyle \lim x_n }{\displaystyle \lim y_n }$ .

Théorème :

Soient $(x_n),(y_n) et (z_n)$ trois suites de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ tq : $\forall n \in \mathbb{N} \; y_n \leq x_n \leq z_n$ .
Si $\displaystyle \lim y_n = \displaystyle \lim z_n = l \in \mathbb{R}$ , alors $(x_n)$ converge aussi vers $l$ .

3. Convergence des suites monotones

Théorème fondamental :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ une suite croissante, $(U_n)$ converge ssi elle est majorée, et on a, dans ce cas : $\displaystyle \lim \: U_n = Sup(U_n)$
Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ une suite decroissante, $(U_n)$ converge ssi elle est minorée, et on a, dans ce cas : $\displaystyle \lim \: U_n = Inf(U_n)$

Corollaire :

Toute suite croissante négative est convergente.
Toute suite décroissante positive est convergente.

Définition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ .
On dit que $(U_n)$ tend vers $+ \infty$ (resp $-\infty$ ) ssi : $(\forall A >0), (\exists N \in \mathbb{N}), (\forall n \in \mathbb{N}),$ $n \geq N \Rightarrow U_n \geq A$ (resp : $U_n \leq A$ ), et on note : $\displaystyle \lim \: U_n= +\infty$ (resp $-\infty$ ).

Proposition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ ,
Si $(U_n)$ est croissante et non majorée alors : $\displaystyle \lim \: U_n = +\infty$ .
Si $(U_n)$ est décroissante et non minorée alors : $\displaystyle \lim \: U_n = -\infty$ .

Proposition :

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ $\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ tq : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \geq V_n$
Si $\displaystyle \lim \: U_n = -\infty$ alors $\displaystyle \lim \: V_n = -\infty$ .
Si $\displaystyle \lim \: V_n = +\infty$ alors $\displaystyle \lim \: U_n = +\infty$ .

III. Suites extraites - Suites adjacentes

1. Suites extraites

Définition :

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ $\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , on dit que $(V_n)$ est une suite extraite de $(U_n)$ ssi : $\exist\begin{array}{rcccl} \psi&:&\mathbb{N}&\to& \mathbb{N}\\ \end{array}$ strictement croissante tq : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; V_n = U_{\psi(n)}$ et on appelle $\psi$ une extractrice.

Exemple :
Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ tq : $U_n = (-1)^n$ et soient : $\begin{array}{rcccl} \psi_1&:&\mathbb{N}&\to& \mathbb{N}\\ & &n &\mapsto &2n\end{array}$ et $\begin{array}{rcccl} \psi_2&:&\mathbb{N}&\to& \mathbb{N}\\ & &n &\mapsto &2n+1\end{array}$
$(V_n)$ et $(W_n)$ sont extraites de $(U_n)$ tq : $V_n = U_{\psi_1 (n)} = U_{2n}=(-1)^{2n} = 1$ et $W_n = U_{\psi_2 (n)} = U_{2n+1}=(-1)^{2n+1} = -1$

Proposition :

Soit $\psi$ une extractrice alors : $\forall n \in \mathbb{N}$ : $\psi(n) \geq n$

Proposition :

Toute suite extraite d'une suite bornée est bornée.
Toute suite extraite d'une suite convergente est convergente et converge vers la même limite.
Alors si on trouve que deux suites extraites ne convergent pas vers la même limite, alors la suite "mère" n'est pas convergente (diverge).

Exemple : dans l'exemple précédent,
$\displaystyle \lim \: V_n = 1$ et $\displaystyle \lim \: W_n = -1$ , alors $(V_n)$ et $(W_n)$ ne convergent pas vers la même limite ( $1 \not = -1$ ), ce qui montre que $(U_n)$ diverge.

Théorème de Bolzano - Weierstrass réel :

De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente.

2. Suites adjacentes

Définition :

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ $\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , on dit qu'elles sont adjacentes si l'une est croissante et l'autre est décroissante et $\displaystyle \lim \: (U_n - V_n) = 0$

Proposition :

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ deux suites adjacentes tq : $(U_n)$ croissante et $(V_n)$ décroissante, alors :
$\forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_n \leq V_n$ .

Théorème :

Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers la même limite.

IV. Suite de Segments Emboités

Définitions :

Un segment est tout intervalle fermé et borné de la forme $[a,b]$ ( $a<b$ ).
Soit $(I_n)$ une suite de segments, on dit que cette suite est emboitée ssi : $(\forall n \in \mathbb{N} ) \; : \; I_{n+1} \subset I_n$ .

Exemple :
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ , on note : $I_n = [0,\frac{1}{n}]$ , $(I_n)$ est une suite de segments emboités car $\forall n \in \mathbb{N}^* \; [0,\frac{1}{n+1}] \subset [0, \frac{1}{n}]$ .

Proposition :

Soit $(I_n) = ([a_n,b_n])$ une suite de segments, on a : $(I_n)$ est emboité $\Leftrightarrow$ ( $(a_n)$ croissante et $(b_n)$ décroissante).

Théorème des segments emboités :

Soit $(I_n) = ([a_n,b_n])$ une suite de segments emboités tq $\displaystyle \lim(b_n - a_n) = 0$ , alors il existe un $c \in \mathbb{R}$ tq : $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} [a_n,b_n] =\lbrace c\rbrace$

V. Suites récurrentes

1. Suite arithmético-géométrique

Définition :

Soit $(U_n) \in \mathb{R}^{\mathbb{N}}$ , on dit que $(U_n)$ est arithmético-géométrique ssi : $\exists (a,b) \in \mathbb{R}^* -\lbrace 1\rbrace \times \mathbb{R}^*$ tq :
$U_0 \in \mathbb{R} \\ \forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_{n+1}=aU_n+b$

Remarque :
Si $a = 1$ : $(U_n)$ est arithmétique, et si $b = 0$ : $(U_n)$ est géométrique.

Proposition :

$(U_n)$ converge ssi : $|a| < 1$ , et dans ce cas : $\displaystyle \lim \: U_n = \frac{b}{1-a}$

2. Suites récurrentes linéaires du 2e ordre

Définition :

Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ , la suite $(U_n)$ definie par :
$(U_0 ,U_1) \in \mathbb{R}^2 \\ \forall n \in \mathbb{N} \; : \; U_{n+2} + aU_{n+1} + bU_n = 0$
est appelée suite recurrente linéaire du 2e ordre, et l'équation $x^2 + ax + b = 0 \; (x \in \mathbb{C} )$ est appelé équation caractéristique qu'il faut resoudre pour trouver $(U_n)$ en fonction de $n$ .

Théorème :

Soit $x^2+ax+b=0$ l'équation caractéristique et $\triangle = a^2-4b$ .

Si $\triangle > 0$ : l'équation admet 2 racines réelles $r_1$ et $r_2$ tq : $U_n = \alpha r_1^n+\beta r_2^n$ avec $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ .
Si $\triangle = 0$ : l'équation admet une racine double réelle $r$ tq : $U_n = (\alpha n+\beta)r^n$ avec $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ .
Si $\triangle < 0$ : l'équation admet deux racines conjuguées : $r_1= r e^{i\theta}$ et $r_2= r e^{-i\theta}$ tq : $U_n=r^n(\alpha cos(n\theta)+\beta sin(n\theta))$ avec $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ .

3. Suite recurrente : cas général

Définition :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $\begin{array}{rcccl} f&:&I&\to& \mathbb{R}\\ \end{array}$ tq $f(I) \subset I$ , la suite $(U_n)$ définie par :
$U_0 \in I \\ \forall n \; U_{n+1} = f(U_n)$
est appelé suite recurrente.

VI. Suites Complexes

Définition :

Une suite complexe est toute application d'une partie de $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ notée $(Z_n)$ en général.

Remarques :
1. Soit $(Z_n)$ une suite complexe, alors il existe $(x_n)$ et $(y_n) \; \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ tq : $\forall n \in \mathbb{N} \; : \; Z_n= x_n+i y_n$ et on note : $\mathfrak{Re}(Z_n) = x_n$ et $\mathfrak{Im}(Z_n)=y_n$ .
2. Tous les résultats dans $\mathbb{R}$ restent valables pour les suites complexes.

Proposition :

Soit $(Z_n)$ une suite complexe, on a : $(Z_n)$ est bornée $\Leftrightarrow (\mathfrak{Re}(Z_n) )_n et (\mathfrak{Im}(Z_n) )_n$ sont bornées.

Proposition :

Soit $(Z_n)$ une suite complexe, et $l = a+ib \in \mathbb{C}$ avec $a,b$ de $\mathbb{R}$ .
$\displaystyle \lim \: Z_n = l \; \Leftrightarrow \; \displaystyle \lim\mathfrak{Re}(Z_n) = a$ et $\displaystyle \lim\mathfrak{Im}(Z_n) = b$ .

Théorème de Bolzano - Weierstrass complexe :

De toute suite complexe bornée on peut extraire une suite convergente.

lundi 15 juin 2015

MATHEMATIQUES: Etude maths (A Pr: Mohamedbahjet Sliman )Cours p...

jeudi 20 novembre 2014

Etude maths

(A Pr: Mohamedbahjet Sliman )

1. On donne :

 des séances de rattrapage.

 Résumé de cour

 Séries des exercices.

 Méthodes de résolution simple et efficace.

2. Pour tous les niveaux et toutes les sections :

3. Pour plus d'ample information veuillez contacter :

21123699

mardi 2 septembre 2014

MATHEMATIQUES

samedi 24 mai 2014

Coniques

Mr : Sliman Mohamed Bahjet

Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution. Dans la suite toutefois, on omettra le plus souvent de la définition des coniques, les cas où le cône est lui-même dégénéré

MF + MF' = 2a

(ellipse)

et

| MF' - MF | = 2a (hyperbole).

L'ensemble de tels points fut étudié géométriquement (indépendamment de l'aspect analytique décrit ci-dessus) par La Hire au 17è siècle.Résumé des principales caractéristiques de l'ellipse et de l'hyperbole (équations réduites) :

Ellipse

Hyperbole

x²/a² - y²/b² = ±1 = ε

Parabole

HYPERBOLE

vendredi 23 mai 2014

Variables aléatoires Mr Sliman Mohamedbahjet :

Variables aléatoires

• Variables aléatoires sur un ensemble fini:

− ∀i ∈ I, 1 > pi ≥ 0 ;

− pour i∈I ; somme des ∑ pi = 1.

• Propriétés:

• Espérance, ou moyenne:

• Définition:

E (X) = ∑ xi P (X = xi) ; xi∈X(Ω)

E (X + Y) = E (X) + E(Y)

E (aX + b) = aE (X) + b

Théorème de transfert:

E (ф (X)) = ∑ ф (xi) P (X = xi) ;xi∈X(Ω)

• Variance, écart-type:Définitions:

V(X) = ∑ [xi − E (X)]²P (X = xi) ; xi∈X(Ω)

V(X) = E[X − E (X)]²

σ (X) = √(V(X))

Exo1:

Exo2:

mercredi 27 février 2013

The Fourier transform

mercredi 20 février 2013

Arithmetical

Design

Art mathematics digital art animated gif

Arithmetical Design

samedi 16 février 2013

Familles numériques sommables Dans tout ce chapitre :

Familles numériques sommables

I. Ensembles dénombrables

II. Familles sommables de réels positifs

III. Famille sommable d'éléments de K (cas général)

1. Sommabilité

2. Somme d'une famille sommable

IV. Suites doubles sommables

V. Groupements de termes

Les Séries Entières : Étude complète

I. Définitions

II. Convergence d'une série entière

1. Rayon de convergence

2. Convergence ponctuelle

III. Opérations sur les séries entières

IV. Propriétés de la somme d'une série entière de la variable réelle

V. Développement en série entière (DSE)

1. Généralités

2. Techniques de calcul de DSE au voisinage de 0

Technique 1 : Utilisation des opérations sur les séries entières

Technique 2 : Méthode de la dérivation et intégration

Technique 3 : Utilisation d'une équation differentielle linéaire

Suites numériques

Variables aléatoires

Mr Sliman Mohamedbahjet :

Familles numériques sommables

Dans tout ce chapitre : $K=\mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$

2. Opérations algébriques
a) Egalité