Etude maths  

(A Pr: Mohamedbahjet Sliman )

Cours particulier en MATH  

Profil du prof: 

• Ancien étudiant  à l' IPEST ... expérience plus que 15 ans dans le domaine.

Etude Spirit Maths

1. On donne :

               des séances de rattrapage. 

               Résumé de cour 

               Séries des exercices.

               Méthodes de résolution simple et efficace. 

2. Pour tous les niveaux et toutes les sections :

• 7em _ 8em _ 9em 
• 1er _ 2em (tous les sections) _ 3em (tous les sections) _ 4em [BAC](tous sections)( En particulier : les élèves de BAC révision de tout le programme pour le concours ) 
• Prépa : 1er _ 2em (tous les sections)
• fac : 1er 2 em 3em 4em (tous les sections)

3.   Pour plus d'ample information veuillez contacter :

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MATHEMATIQUES

MATHEMATIQUES

Coniques

Mr : Sliman Mohamed Bahjet

 

• Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution. Dans la suite toutefois, on omettra le plus souvent de la définition des coniques, les cas où le cône est lui-même dégénéré

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• Ce qui survient si : l'angle d'ouverture du cône est maximal (angle au sommet égal à 180 °), auquel cas le cône se réduit à un seul plan, dont l'intersection avec un autre plan peut être soit vide, soit le même plan, soit le plus souvent une droite ; l'angle d'ouverture du cône est minimal (angle au sommet égal à 0 °), auquel cas le cône se réduit à une seule droite, dont l'intersection avec un autre plan peut être soit vide, soit la même droite, soit le plus souvent un simple point. Selon les positions relatives du plan de coupe et du cône (non dégénéré selon la définition ci-dessus), on obtient différents types de coniques : Intersection d'un plan et d'un cône de révolution Les coniques propres, quand le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône : si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, l'intersection est une hyperbole ; dans le cas particulier où l'angle d'inclinaison est inférieur d'exactement 45° à l'angle d'ouverture du cône, cet hyperbole est même équilatère (ce cas particulier n'existe pas si l'angle d'ouverture du cône n’est pas lui-même d’au minimum 45°, c'est-à-dire si le cône est aigu ; si l’angle d’ouverture du cône est exactement 45°, le plan de coupe doit être parallèle à l'axe du cône pour que l'intersection soit une hyperbole équilatère) ; si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une parabole ; si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse (cette ellipse est une des courbes directrices du cône) ; dans le cas maximal où l'angle d'inclinaison du plan de coupe est droit, cette ellipse est même un cercle (lui aussi une des courbes directrices du cône). Les coniques dégénérées (en), quand le plan contient le sommet du cône.

• Là encore, on distingue trois sortes de coniques dégénérées en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône : si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un couple de droites sécantes (deux génératrices du cône, passant toutes deux par le sommet du cône). si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à une seule droite (une des génératrices du cône passant par le sommet du cône, et où le plan de coupe et le cône sont tangents) ; si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un seul point (le sommet du cône). 

• Les célèbres coniques (ellipse, parabole, hyperbole) étudiées par les mathématiciens grecs de l'antiquité (Apollonis de Perge, Menechme, Pappus) peuvent être définies au moyen d'un point appelé foyer (Kepler) et d'une droite (d) dite directrice (Pappus).Ainsi, une conique est l'ensemble des points M tels que MF/MH = e où H désigne la projection orthogonale de M sur (d) et e un nombre strictement positif donné. Ce nombre e est appelé excentricité de la conique.La droite perpendiculaire à (d) passant par F est l'axe focal : il s'agit ici de la droite (KF), K désignant la projection orthogonale de F sur (d).Cette définition permet d'affirmer que (FK) est un axe de symétrie de la conique. Le point S de (FK) vérifiant SF/SK = e est dit sommet de la conique. Lorsque e est distinct de 1, il existe deux points S et S' divisant [KF] dans le rapport e : c'est dire que la conique admet un second sommet S'.Lorsque e est distinct de 1, un calcul analytique (voir ci-dessous) permet d'observer une symétrie et, par suite, l'existence d'un second foyer F' et d'une seconde directrice : l'ellipse (e < 1) et l'hyperbole (e > 1) sont des coniques bifocales, dites aussi coniques à centre. Le centre est le milieu de [FF'].

• La définition actuelle d’une conique est d’être une courbe algébrique du deuxième degré. 
• Cette définition englobe les cas de dégénérescence (dans le plan euclidien : ensemble vide, point, réunion de deux droites) et permet d’affirmer que les coniques sont les sections planes de quadriques. 
• Cependant, dans ce site, le mot conique désigne uniquement les cas non dégénérés, ou "propres" : ellipse, parabole, hyperbole.
• Avec cette acception, voici diverses définitions géométriques des coniques : 
• 1) Définition des Grecs. 
• Les coniques sont les sections d’un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. 
• Ellipse
• Parabole
• Hyperbole
• 2) Définition par foyer et directrice.
• Les coniques sont des cercles, ou les lieux des points dont le rapport des distances à un point fixe (le foyer F) et à une droite fixe (la directrice (D)) est constant (égal à l’excentricité e) ; les ellipses sont obtenues pour e < 1, la parabole pour e = 1, les hyperboles pour e > 1.
• Ce n'est qu'en 1822 que Dandelin a relié entre elles ces deux premières définitions, en montrant que les foyers et les directrices sont obtenus à l'aide des deux sphères inscrites : 
• 3) Définition par courbe d'équidistance entre un point et un cercle généralisé. 
• Les coniques sont les lieux des points équidistants d’un point fixe (le foyer) et d’un cercle ou d'une droite (C) (le cercle directeur ou la directrice), c'est à dire les isotèles de cercle généralisé ; autrement dit, ce sont les lieux du centre d’un cercle variable astreint à passer par un point fixe et à être tangent à (C). 
• Lorsque le foyer est intérieur au cercle, on obtient les ellipses, extérieur les hyperboles, et lorsque (C) est une droite : la parabole.
• Plus généralement, les lieux des centres de cercles tangents à deux cercles généralisés de rayons distincts sont des réunions de deux coniques.
• 4) Définition par orthocaustique de cercle ou droite.
• Les coniques sont les orthocaustiques (ou antipodaires) d’un cercle ou d'une droite (C') (le cercle principal ou la tangente au sommet).
• Lorsque la source lumineuse, qui est aussi le foyer de la conique, est intérieure au cercle, on obtient les ellipses, extérieure, les hyperboles, et lorsque (C') est une droite : la parabole.
• Les coniques sont donc aussi les enveloppes de la médiatrice d'un segment joignant un point à un cercle ou une droite (le cercle directeur ou la directrice) (autrement dit, ce sont les courbes dont l’orthotomique est un cercle ou une droite).
• 5) les coniques sont les anticaustiques de droite.
• La première définition a plusieurs implications dans la vie courante : par exemple le bord de la trace lumineuse que fait une lampe à abat-jour ou une lampe de poche sur un mur est une conique

• La définition par foyer et directrice permet de retrouver les relations fondamentales de la définition bifocale 

 MF + MF' = 2a 

(ellipse)

 et

 | MF' - MF | = 2a (hyperbole).

• En effet, dans le cas de l'ellipse, on a : MF = eMH   et   MF' = eMH', 

donc MF + MF' = e(MH + MH') = e 2a²/c. Or e = c/a, d'où le résultat. Le cas de l'hyperbole s'obtient de la même manière en remarquant que les directrices coupent l'axe focal entre S et S' (puisque e = c/a > 1). 

Ellipse

• L'ensemble de tels points fut étudié géométriquement (indépendamment de l'aspect analytique décrit ci-dessus) par La Hire au 17è siècle.Résumé des principales caractéristiques de l'ellipse et de l'hyperbole (équations réduites) :

• Ellipse

x²/a² + y²/b² = 1

• Abscisses foyer :

 c²= a² - b² (a > b) , c² = b² - a² (a < b)

• Excentricité : e = c/a
• Directrices : x = ± a²/c (a > b) , x = ± b²/c (a < b)
• Tangentes en M(xo,yo) : xxo/a² + yyo/b² = 1 

• Hyperbole 

x²/a² - y²/b² = ±1 = ε 

• Abscisses foyer : c² = a² + b² Excentricité : e = c/a (ε =1) , e = c/b (ε =-1) Directrices : x = ± a²/c (ε =1) , y = ± b²/c (ε= -1)
•  Asymptotes : ay = ± bx 
• Tangentes en M(xo,yo) : xxo/a² - yyo/b² = ±1 

Parabole

HYPERBOLE

Variables aléatoires

 Mr Sliman Mohamedbahjet : 

http://bahjetsliman.blogspot.com/

• Variables aléatoires sur un ensemble fini:

Soit (Ω, P (Ω) , P) un espace probabilisé fini. Une variable aléatoire
est une application de Ω dans R
• Pour tout x ∈ IR, l’événement
X¹ (x) = {ω; ω∈ Ω, X (ω) = x}
• Déterminer la loi de probabilité de X, c’est déterminer X (Ω),
et, pour chaque xi ∈ X (Ω), déterminer la probabilité P (X = xi).
• Réciproquement, soit {(xi, pi) ; i ∈ I} un ensemble fini de couples
de nombres réels. Pour vérifier que cet ensemble est la loi de probabilité
d’une v.a finie X, avec P(X = xi) = pi, il suffit de vérifier :

− ∀i ∈ I, 1 > pi ≥ 0 ;

− pour i∈I ; somme des  ∑ pi = 1.

• Propriétés:

• Si les v.a X1, · · · , Xn sont indépendantes, alors elles sont indépendantes deux à deux. La réciproque est fausse.
• Si X1, · · · , Xn sont indépendantes, alors toute fonction de X1, · · · , Xp
est indépendante de toute fonction de Xp+1, · · · , Xn, 1 p < n. En
particulier, si X, Y sont indépendantes,alors toute fonction de X est
indépendante de toute fonction de Y.

• Espérance, ou moyenne:

• Définition:

Soit X une v.a définie sur V fini. L’espérance, ou moyenne, de X est le nombre réel noté E (X) et défini par:

E (X) = ∑ xi P (X = xi) ; xi∈X(Ω)

Cette définition est à rapprocher de la définition de la moyenne
d’une série statistique : la fréquence de la valeur observée xi de la
variable statistique X est remplacée par la probabilité de la valeur xi pour la v.a X.
Linéarité de l’espérance:
Soit X et Y deux v.a définies sur V fini et a, b deux nombres réels.
Alors:

         E (X + Y)  =  E (X) + E(Y) 

    E (aX + b) =  aE (X) + b

Théorème de transfert:

Soit X une v.a définie sur V fini, et w une application définie sur

X (V). Alors :

E (ф (X)) = ∑ ф (xi) P (X = xi) ;xi∈X(Ω)

• Variance, écart-type:Définitions:

• soit X une v.a définie sur V fini. La variance de X est le nombre réel noté V(X) et défini par :

V(X) = ∑ [xi − E (X)]²P (X = xi) ; xi∈X(Ω)

• D’après le théorème de transfert, on a

V(X) = E[X − E (X)]²

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

• L’écart-type σ (X) est la racine carrée de la variance :

σ (X) = √(V(X))

Exo1:

On lance 4 dés, et on note S la somme des résultats obtenus. Calculer E(S).

Sol:

Soient X1, X2, X3 et X4 les résultats obtenus pour chaque dé. 

On a :

E(X1) = E(X2) = E(X3) =E(X4)

 E(X1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5

Or, S = X1 + X2 + X3 + X4,

 d'où :

E(S) = E(X1 + X2 + X3 + X4) = 4E(X1) = 4 * 3,5 = 14

Exo2: 

On lance deux fois de suite un dé équilibré. Modéliser cette expérience. Soit X la variable  aléatoire égale au plus grand des numéros tirés. Quelle est la loi de probabilité de X. Calculer son espérance mathématique et sa variance.

Sol:

Modélisation:
L'ensemble des résultats élémentaires pour le jet d'un dé est {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
L'ensemble des résultats élémentaires pour deux jets d'un dé est W = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ².
Son cardinal est Card (W) = 6 ² = 36.
Comme le dé est équilibré, chaque résultat élémentaire d'un jet du dé est équiprobable et a une probabilité .
Comme les jets sont supposés indépendants, les probabilités se multiplient ; chaque élément de W est équiprobable et a une probabilité .


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