Variables aléatoires

 Mr Sliman Mohamedbahjet : 

http://bahjetsliman.blogspot.com/

• Variables aléatoires sur un ensemble fini:

Soit (Ω, P (Ω) , P) un espace probabilisé fini. Une variable aléatoire
est une application de Ω dans R
• Pour tout x ∈ IR, l’événement
X¹ (x) = {ω; ω∈ Ω, X (ω) = x}
• Déterminer la loi de probabilité de X, c’est déterminer X (Ω),
et, pour chaque xi ∈ X (Ω), déterminer la probabilité P (X = xi).
• Réciproquement, soit {(xi, pi) ; i ∈ I} un ensemble fini de couples
de nombres réels. Pour vérifier que cet ensemble est la loi de probabilité
d’une v.a finie X, avec P(X = xi) = pi, il suffit de vérifier :

− ∀i ∈ I, 1 > pi ≥ 0 ;

− pour i∈I ; somme des  ∑ pi = 1.

• Propriétés:

• Si les v.a X1, · · · , Xn sont indépendantes, alors elles sont indépendantes deux à deux. La réciproque est fausse.
• Si X1, · · · , Xn sont indépendantes, alors toute fonction de X1, · · · , Xp
est indépendante de toute fonction de Xp+1, · · · , Xn, 1 p < n. En
particulier, si X, Y sont indépendantes,alors toute fonction de X est
indépendante de toute fonction de Y.

• Espérance, ou moyenne:

• Définition:

Soit X une v.a définie sur V fini. L’espérance, ou moyenne, de X est le nombre réel noté E (X) et défini par:

E (X) = ∑ xi P (X = xi) ; xi∈X(Ω)

Cette définition est à rapprocher de la définition de la moyenne
d’une série statistique : la fréquence de la valeur observée xi de la
variable statistique X est remplacée par la probabilité de la valeur xi pour la v.a X.
Linéarité de l’espérance:
Soit X et Y deux v.a définies sur V fini et a, b deux nombres réels.
Alors:

         E (X + Y)  =  E (X) + E(Y) 

    E (aX + b) =  aE (X) + b

Théorème de transfert:

Soit X une v.a définie sur V fini, et w une application définie sur

X (V). Alors :

E (ф (X)) = ∑ ф (xi) P (X = xi) ;xi∈X(Ω)

• Variance, écart-type:Définitions:

• soit X une v.a définie sur V fini. La variance de X est le nombre réel noté V(X) et défini par :

V(X) = ∑ [xi − E (X)]²P (X = xi) ; xi∈X(Ω)

• D’après le théorème de transfert, on a

V(X) = E[X − E (X)]²

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

• L’écart-type σ (X) est la racine carrée de la variance :

σ (X) = √(V(X))

Exo1:

On lance 4 dés, et on note S la somme des résultats obtenus. Calculer E(S).

Sol:

Soient X1, X2, X3 et X4 les résultats obtenus pour chaque dé. 

On a :

E(X1) = E(X2) = E(X3) =E(X4)

 E(X1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5

Or, S = X1 + X2 + X3 + X4,

 d'où :

E(S) = E(X1 + X2 + X3 + X4) = 4E(X1) = 4 * 3,5 = 14

Exo2: 

On lance deux fois de suite un dé équilibré. Modéliser cette expérience. Soit X la variable  aléatoire égale au plus grand des numéros tirés. Quelle est la loi de probabilité de X. Calculer son espérance mathématique et sa variance.

Sol:

Modélisation:
L'ensemble des résultats élémentaires pour le jet d'un dé est {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
L'ensemble des résultats élémentaires pour deux jets d'un dé est W = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ².
Son cardinal est Card (W) = 6 ² = 36.
Comme le dé est équilibré, chaque résultat élémentaire d'un jet du dé est équiprobable et a une probabilité .
Comme les jets sont supposés indépendants, les probabilités se multiplient ; chaque élément de W est équiprobable et a une probabilité .


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